Question

8．在平面直角坐標系xOy平面中，兩個定點A（-1，2），B（1，4），點M在x軸上運動．
（1）若點M在坐標軸上運動，滿足MA⊥MB點M的個數(shù)為0；
（2）若點M在x軸上運動，當∠AMB最大時的點M坐標為（1，0），（-7，0）．

Answer 1

分析 （1）求出以AB為直徑的圓與x軸的交點，即可得到交點個數(shù)．
（2）利用平面幾何中的圓外角小于圓周角，設過AB且與x軸相切的圓與x軸的切點為P，則P點即為所求的點．

解答 解：（1）點M在坐標軸上運動，滿足MA⊥MB點，就是以AB為直徑的圓與x軸的交點，
A（-1，2），B（1，4），圓心是AB的中點（0，3），半徑為：$\sqrt{2}$．
以AB為直徑的圓的方程為：x²+（y-3）²=2，y=0，解得方程無解，
若點M在坐標軸上運動，滿足MA⊥MB點M的個數(shù)為0個．
故答案為：0．
（2）設過AB且與x軸相切的圓的圓心為E（x，y），則M（x，0）．因為M，A，B三點在圓上，
∴EM=EA=EB，
∴（x+1）²+（y-2）²=y²=（x-1）²+（y-4）²
整理可得，x²+6x-7=0
解方程可得x=1，x=-7．M（1，0），（-7，0）．
故答案為：M（1，0），（-7，0）．

點評 本題主要考查了圓的性質(zhì)圓外的角小于圓周角在求解角的最值中的應用，屬于中檔題．