Question

函數(shù)f（x）=e^xsinx在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域?yàn)椋ā　。?/div>

• A、[0，e 

  π

  2

  ]
• B、（0，e 

  π

  2

  ）
• C、[0，e 

  π

  2

  ）
• D、（0，e 

  π

  2

  ]

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考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由已知得f′（x）=e^x（sinx+cosx），由x∈[0，

π

2

]，得f′（x）＞0，f（x）在[0，

π

2

]上是增函數(shù)，由此能求出函數(shù)f（x）=e^xsinx在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域．

解答： 解：∵f（x）=e^xsinx，
∴f′（x）=e^x（sinx+cosx），
∵x∈[0，

π

2

]，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，

π

2

]上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=0，f（x）_max=f（

π

2

）=e

π

2

．
∴函數(shù)f（x）=e^xsinx在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域?yàn)閇0，e 

π

2

]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的值域的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由已知得f′（x）=e^x（sinx+cosx），由x∈[0，

π

2

]，得f′（x）＞0，f（x）在[0，

π

2

]上是增函數(shù)，由此能求出函數(shù)f（x）=e^xsinx在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域．

解答： 解：∵f（x）=e^xsinx，
∴f′（x）=e^x（sinx+cosx），
∵x∈[0，

π

2

]，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，

π

2

]上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=0，f（x）_max=f（

π

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）=e

π

2

．
∴函數(shù)f（x）=e^xsinx在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域?yàn)閇0，e 

π

2

]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的值域的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．