Question

【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，過A1、C1、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD﹣A1C1D1 ， 且這個幾何體的體積為10． （Ⅰ）求棱AA1的長；
（Ⅱ）若A1C1的中點為O1 ， 求異面直線BO1與A1D1所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)AA1=h， 由題設(shè) = ﹣ =10，
∴
即 ，解得h=3．
故A1A的長為3．
（Ⅱ）∵在長方體中，A1D1∥BC，
∴∠O1BC為異面直線BO1與A1D1所成的角（或其補角）．
在△O1BC中，AB=BC=2，A1A=3，
∴AA1=BC1= ， = ，
∴ ，
則cos∠O1BC= = = ．
∴異面直線BO1與A1D1所成角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）設(shè)AA1=h，由題設(shè) = ﹣ ，可求出棱長．（Ⅱ）因為在長方體中A1D1∥BC，所以∠O1BC即為異面直線BO1與A1D1所成的角（或其補角）那么借助于三角形求解得到結(jié)論．
【考點精析】利用棱柱的結(jié)構(gòu)特征和異面直線及其所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形；異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系．