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【題目】設函數fx=,若對任意給定的m∈(1,+∞),都存在唯一的x0R滿足ffx0))=2a2m2+am,則正實數a的取值范圍為( 。

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

先畫出函數fx)圖像,記t=fx0),存在唯一的x0,所以必有t1,所以ft=2a2m2+am1對任意給定的m∈(1,+∞)恒成立,因式分解得(ma+1)(2ma1)>0,因為ma+10,所以2ma10恒成立,代入m=1即可.

解:作出函數fx)的圖象如圖:由圖象知當x0時,fx=log2x的值域為R,

當-1≤x≤0fx)的取值范圍為[0,1],

x<-1時,fx)的取值范圍是(-,1),

即由圖象知當fx≤1時,x的值不唯一,設t=fx0),

x0時,由fx=log2x≥1x≥2,則方程ffx0))=2a2m2+am

等價為ft=2a2m2+am

因為2a2m2+am0

所以若存在唯一的x0R滿足ffx0))=2a2m2+am,

t1,即由fx=log2x1x2,

即當x2時,ffx))與x存在一一對應的關系,則此時必有ffx))>1,

2a2m2+am1,得(ma+1)(2ma1)>0,

因為ma+10,

所以不等式等價為2ma10,設hm=2ma1,

因為m1,a0,

所以只要h1≥0即可,得2a1≥0,得a,

即實數a的取值范圍是[,+∞).

故選:A

練習冊系列答案
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