【題目】設函數f(x)=,若對任意給定的m∈(1,+∞),都存在唯一的x0∈R滿足f(f(x0))=2a2m2+am,則正實數a的取值范圍為( 。
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
先畫出函數f(x)圖像,記t=f(x0),存在唯一的x0,所以必有t>1,所以f(t)=2a2m2+am>1對任意給定的m∈(1,+∞)恒成立,因式分解得(ma+1)(2ma-1)>0,因為ma+1>0,所以2ma-1>0恒成立,代入m=1即可.
解:作出函數f(x)的圖象如圖:由圖象知當x>0時,f(x)=log2x的值域為R,
當-1≤x≤0,f(x)的取值范圍為[0,1],
當x<-1時,f(x)的取值范圍是(-∞,1),
即由圖象知當f(x)≤1時,x的值不唯一,設t=f(x0),
當x>0時,由f(x)=log2x≥1得x≥2,則方程f(f(x0))=2a2m2+am,
等價為f(t)=2a2m2+am,
因為2a2m2+am>0
所以若存在唯一的x0∈R滿足f(f(x0))=2a2m2+am,
則t>1,即由f(x)=log2x>1得x>2,
即當x>2時,f(f(x))與x存在一一對應的關系,則此時必有f(f(x))>1,
即2a2m2+am>1,得(ma+1)(2ma-1)>0,
因為ma+1>0,
所以不等式等價為2ma-1>0,設h(m)=2ma-1,
因為m>1,a>0,
所以只要h(1)≥0即可,得2a-1≥0,得a≥,
即實數a的取值范圍是[,+∞).
故選:A.
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【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,過A1、C1、B三點的平面截去長方體的一個角后,得到如圖所示的幾何體ABCD﹣A1C1D1 , 且這個幾何體的體積為10. (Ⅰ)求棱AA1的長;
(Ⅱ)若A1C1的中點為O1 , 求異面直線BO1與A1D1所成角的余弦值.
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【題目】已知數列{an}為等差數列,a1=3且(a3﹣1)是(a2﹣1)與a4的等比中項.
(1)求an;
(2)若數列{an}的前n項和為Sn , bn= ,Tn=﹣b1+b2+b3+…+(﹣1)nbn , 求Tn .
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【題目】若集合A={x|2 >1},集合B={x|y=lg },則A∩B=( )
A.{x|﹣5<x<1}
B.{x|﹣2<x<1}
C.{x|﹣2<x<﹣1}
D.{x|﹣5<x<﹣1}
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【題目】已知函數f(x)=ln(1+x)﹣x﹣ax2 , a∈R. (Ⅰ)若函數f(x)在區(qū)間 上有單調遞增區(qū)間,求實數a的取值范圍;
(Ⅱ)證明不等式: .
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【題目】已知數列{an}的各項都是正數,它的前n項和為Sn , 滿足2Sn=an2+an , 記bn=(﹣1)n .
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)求數列{bn}的前2016項的和.
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【題目】將函數 圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的 ,縱坐標不變,再向右平移 個單位長度,得到函數y=g(x)的圖象,則下列說法正確的是( )
A.函數g(x)的一條對稱軸是
B.函數g(x)的一個對稱中心是
C.函數g(x)的一條對稱軸是
D.函數g(x)的一個對稱中心是
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【題目】設函數f(x)=x2+aln(x+1),a∈R.
(Ⅰ)討論函數f(x)的單調性;
(Ⅱ)若函數f(x)有兩個極值點x1 , x2 , 且x1<x2 , 求證:f(x2)≥( ﹣1)x2 .
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【題目】已知二次函數f(x)滿足條件f(0)=1,及f(x+1)﹣f(x)=2x.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)在區(qū)間[﹣1,1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+m的圖象上方,試確定實數m的取值范圍.
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