Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)，與曲線(xiàn)相交于點(diǎn)，且

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，過(guò)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，兩切線(xiàn)交于點(diǎn)，求證點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線(xiàn)定義得，再根據(jù)點(diǎn)N坐標(biāo)列方程，解得結(jié)果，（2）利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)斜率，再根據(jù)切線(xiàn)方程解得A點(diǎn)縱坐標(biāo)，最后利用直線(xiàn)與方程聯(lián)立方程組，借助韋達(dá)定理化簡(jiǎn)的縱坐標(biāo).

解：（1）由已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn) ，

由，得，即

因?yàn)辄c(diǎn)，

所以，

所以?huà)佄锞�(xiàn)方程：

（2）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為

設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)為 ．

設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)分別為 ，

由消去得：,根據(jù)韋達(dá)定理得

拋物線(xiàn),即二次函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得，

所以?huà)佄锞�(xiàn)在點(diǎn) 處的切線(xiàn)斜率為

可得切線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)得 ，

同理，得到拋物線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)方程為，

兩方程消去，得兩切線(xiàn)交點(diǎn)縱坐標(biāo)滿(mǎn)足,

，

，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)是定值．