Question

已知雙曲線：和圓：（其中原點(diǎn)為圓心），過雙曲線上一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、．
（1）若雙曲線上存在點(diǎn)，使得，求雙曲線離心率的取值范圍；
（2）求直線的方程；
（3）求三角形面積的最大值．

Answer 1

（本小題主要考查圓、雙曲線、直線方程和不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，以及分類討論思想與創(chuàng)新意識等．）
解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/03/a/6sgpp1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以．   1分
由及圓的性質(zhì)，可知四邊形是正方形，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/81/d/ltjir.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以．3分
故雙曲線離心率的取值范圍為．                      4分
（2）方法1：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ea/2/11ix94.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為．   5分
因?yàn)閳A與圓兩圓的公共弦所在的直線即為直線，                 6分
所以聯(lián)立方程組                  7分
消去，，即得直線的方程為．                  8分
方法2：設(shè)，已知點(diǎn)，
則，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/61/1/1gev74.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即．                5分

整理得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/51/1/z1duq1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．                       6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/da/c/lkbfx.png" style="vertical-align:middle;" />，，根據(jù)平面幾何知識可知，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/30/d/v7lbc4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．                           7分
所以直線方程為．
即．
所以直線的方程為．                        8分
方法3：設(shè)，已知點(diǎn)，
則，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/61/1/1gev74.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即解析