Question

1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，c=5且b（2sinB+sinA）+（2a+b）sinA=2csinC．
（1）求C的值；
（2）若cosA=$\frac{4}{5}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡已知等式可得（2b+a）b+（2a+b）a=2c²，化簡可得：a²+b²-c²=-ab，利用余弦定理可求cosC=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍C∈（0，π），即可求得C的值．
（2）由已知，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可求得sinB=sin（A+C）的值，由正弦定理即可計(jì)算求得b=$\frac{csinB}{sinC}$的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵b（2sinB+sinA）+（2a+b）sinA=2csinC．
∴（2b+a）b+（2a+b）a=2c²，…2分
化簡可得：a²+b²-c²=-ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，…4分
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{2π}{3}$…6分
（2）∵cosA=$\frac{4}{5}$，A∈（0，π），
∴sinA=$\frac{3}{5}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{3}{5}×（-\frac{1}{2}）+\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，…10分
∴由正弦定理可得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{5×\frac{4\sqrt{3}-3}{10}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$-\sqrt{3}$．…12分

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角和與差的三角函數(shù)公式等基礎(chǔ)知識，考查了運(yùn)算求解能力，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．