Question

已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓上.

(I)求橢圓C的方程；

(II)若斜率為k的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn).試探討k為何值時(shí),三角形OAB為直角三角形.

 

Answer 1

【答案】

(I) (II)

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 

所以橢圓方程為                                             ……4分

（Ⅱ）由已知直線(xiàn)AB的斜率存在，設(shè)AB的方程為：

由 ，得，

得：，即                                       ……6分

設(shè)， 

(1)若為直角頂點(diǎn)，則 ，即 ，

，所以上式可整理得，

，解，得，滿(mǎn)足            ……8分

（2）若為直角頂點(diǎn)，不妨設(shè)以為直角頂點(diǎn)，，則滿(mǎn)足：

，解得，代入橢圓方程，整理得，

解得，，滿(mǎn)足   ……10分

時(shí)，三角形為直角三角形.    ……12分

考點(diǎn)：本小題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的性質(zhì)和直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系.

點(diǎn)評(píng)：每年高考都會(huì)考查圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題，此類(lèi)題目一般運(yùn)算量較大，主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.