如圖，四棱錐P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60°，在四邊形ABCD中，∠D=∠DAB=90°，AB=4，CD=1,AD=2.

(1)建立適當?shù)淖鴺讼�，并寫出點B、P的坐標；

(2)求異面直線PA與BC所成的角；

(3)若PB的中點為M，求證：平面AMC⊥平面PBC.

(1)解：建立如上圖所示的直角坐標系D—xyz,

∵∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2,

∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0).

由PD⊥平面ABCD，得∠PAD為PA與平面ABCD所成的角.∴∠PAD=60°.

在Rt△PAD中，由AD=2，得.

∴P(0,0,).

(2)解：∵=(2,0,),=(-2,-3,0),

∴.

∴PA與BC所成的角為arccos.

(3)證明：∵M為PB的中點，

∴點M的坐標為(1,2,).

∴=(-1,2,),=(1,1,),=(2,4,).

∵=(-1)×2+2×4+×()=0,

=1×2+1×4+×()=0,

∴,.

∴PB⊥平面AMC.

又PB面PCB,

∴平面AMC⊥平面PBC.

啟示：異面直線所成角的范圍為(0,).


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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