已知拋物線C:y2=4(x-1),橢圓C1的左焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線與拋物線C的焦點(diǎn)F和準(zhǔn)線l分別重合.
(1)設(shè)B是橢圓C1短軸的一個(gè)端點(diǎn),線段BF的中點(diǎn)為P,求點(diǎn)P的軌跡C2的方程;
(2)如果直線x+y=m與曲線C2相交于不同兩點(diǎn)M、N,求m的取值范圍.
【答案】分析:(1)設(shè)P(x,y),B(2x-2,2y)(x>2,y≠0).則c=(2x-2)-2=2x-4,b2=(2y)2=4y2,由(-c)-(- )=2,知 =2,由此能求出C2的軌跡方程.
(2)由,y≠0,知y2+y-m+2=0,再由根的判別式和題設(shè)條件能求出m的取值范圍.
解答:解:(1)拋物線y2=4(x-1)焦點(diǎn)為F(2,0),準(zhǔn)線l:x=0.設(shè)P(x,y),
∵P為BF中點(diǎn),
∴B(2x-2,2y)(x>2,y≠0).設(shè)橢圓C1的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距分別為a、b、c,
則c=(2x-2)-2=2x-4,b2=(2y)2=4y2,
∵(-c)-(- )=2,
=2,
即b2=2c.∴4y2=2(2x-4),
即y2=x-2(y≠0),此即C2的軌跡方程.
(2)由,y≠0,知y2+y-m+2=0,
令△=1-4(-m+2)>0,知m>
而當(dāng)m=2時(shí),直線x+y=2過點(diǎn)(2,0),這時(shí)它與曲線C2只有一個(gè)交點(diǎn),
∴所求m的取值范圍是( ,2)∪(2,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和應(yīng)用,解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn). A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)過M作MN⊥FA,垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo);
(Ⅲ)以M為圓心,4為半徑作圓M,點(diǎn)P(m,0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試討論直線AP與圓M的位置關(guān)系.

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已知拋物線C:y2=2px(p>0),F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn),A為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn),過A作拋物線準(zhǔn)線l的垂線,垂足為Q.
(1)若點(diǎn)P(0,4)與點(diǎn)F的連線恰好過點(diǎn)A,且∠PQF=90°,求拋物線方程;
(2)設(shè)點(diǎn)M(m,0)在x軸上,若要使∠MAF總為銳角,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=2Px(p>0)上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線y=kx+b(k≠0)與拋物線C交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a>0),求證:a2=
16(1-kb)k2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=4x,點(diǎn)M(m,0)在x軸的正半軸上,過M的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(I)若m=1,且直線l的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程;
(II)問是否存在定點(diǎn)M,不論直線l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng),使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=8x與點(diǎn)M(-2,2),過C的焦點(diǎn),且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若
MA
MB
=0,則k=( 。

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