Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點，設P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標原點），當|-|＜時，求實數(shù)t取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知，所以．由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由題意知直線AB的斜率存在．設AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），由得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0再由根的判別式和嘏達定理進行求解．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，所以．
即a²=2b²．（2分）
又因為，所以a²=2，．
故橢圓C的方程為．（4分）
（Ⅱ）由題意知直線AB的斜率存在．設AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，．（6分）
，∵∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴，
∵點P在橢圓上，∴，∴16k²=t²（1+2k²）．（8分）
∵＜，∴，∴
∴，∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，∴．（10分）
∴，∵16k²=t²（1+2k²），∴，
∴或，∴實數(shù)t取值范圍為．（12分）
點評：本題考查橢圓方程的求法和求實數(shù)t取值范圍．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地運用根的判別式和韋達定理進行解題．