Question

10．已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（I）以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求橢圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y）為橢圓C上任意一點，求x+2y的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，消去參數(shù)，可得普通方程，即可求橢圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y）為橢圓C上任意一點，則x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin（θ+α），即可求x+2y的取值范圍．

解答 解：（I）橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，消去參數(shù)，可得普通方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，極坐標(biāo)方程為${ρ}^{2}=\frac{36}{4+5si{n}^{2}θ}$；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y）為橢圓C上任意一點，則x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin（θ+α），
∴x+2y的取值范圍是[-5，5]．

點評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．