設(shè)AB是圓x2+y2=1的一條直徑，以AB為直角邊、B為直角頂點(diǎn),逆時(shí)針方向作等腰直角三角形ABC.當(dāng)AB變動時(shí)，求C點(diǎn)的軌跡.

所求軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.


解析:

解法一:(參數(shù)法)取∠xOB=θ為參數(shù)，則B(cosθ,sinθ),

于是，(x－cosθ)2+(y－sinθ)2=4.

=－cotθ,消去θ得x2+y2=5.

故所求軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.

解法二:(相關(guān)點(diǎn)法)設(shè)C(x,y)、B(x0,y0),

當(dāng)x0、y0≠0時(shí)，

則(x－x0)2+(y－y0)2=4.

·=－1.由x02+y02=1消去x0、y0得軌跡方程.顯然當(dāng)x0=0或y0=0時(shí)，方程也適合.

解法三:(幾何法)連結(jié)CO，因?yàn)閨OC|2=|OB|2+|AB|2=5為定值，故其軌跡為圓.

評析:求軌跡的方法很多，注意合理選取，參數(shù)法求軌跡方程是常用方法之一，常用到的參數(shù)有斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)、長度、夾角等.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)點(diǎn)P是圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)，由點(diǎn)P向x軸作垂線PP0，垂足為Po，且
MP0
=
3
2
pp0
．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m（m≠0）與（Ⅰ）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）若直線OA，AB，OB的斜率成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若以AB為直徑的圓過曲線C與x軸正半軸的交點(diǎn)Q，求證：直線l過定點(diǎn)（Q點(diǎn)除外），并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：訓(xùn)練必修二數(shù)學(xué)人教A版 人教A版 題型：044

設(shè)AB是圓x2＋y2＝1的一條直徑，以AB為直角邊、B為直角頂點(diǎn)，逆時(shí)針方向作等腰Rt△ABC．當(dāng)AB變動時(shí)，求C點(diǎn)的軌跡．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖北省武漢市武昌區(qū)高三上學(xué)期期末調(diào)研測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分13分）

設(shè)點(diǎn)P是圓x2 +y2 =4上任意一點(diǎn)，由點(diǎn)P向x軸作垂線PP0，垂足為Po，且．

（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線：y=kx+m(m≠0)與（Ⅰ）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B．

（1）若直線OA，AB，OB的斜率成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）若以AB為直徑的圓過曲線C與x軸正半軸的交點(diǎn)Q，求證：直線過定點(diǎn)(Q點(diǎn)除外)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

     設(shè)點(diǎn)P是圓x2 +y2 =4上任意一點(diǎn)，由點(diǎn)P向x軸作垂線PP0，垂足為Po，且．

    （Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

    （Ⅱ）設(shè)直線：y=kx+m(m≠0)與（Ⅰ）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B．

        （1）若直線OA，AB，OB的斜率成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

        （2）若以AB為直徑的圓過曲線C與x軸正半軸的交點(diǎn)Q，求證：直線過定點(diǎn)(Q點(diǎn)除外)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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