Question

（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）曲線C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），在曲線C₁上求一點，使它到直線C₂：

x=-2 2 + 1 2 t  y=1- 1 2 t

（t為參數(shù)）的距離最小，并求出該點坐標和最小距離．

Answer 1

分析：將直線的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C₁任意點P的坐標為（1+cosθ，sinθ），利用點到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，與分母約分化簡后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得正弦函數(shù)的最小值，進而得到距離d的最小值，并求出此時θ的度數(shù)，即可確定出所求點P的坐標．

解答：解：將直線C₂化為普通方程得：x+y-1+2

2

=0，
設所求的點為P（1+cosθ，sinθ），
則P到直線C₂的距離d=

|1+cosθ+sinθ+2 2 -1|

2

=|sin（θ+

π

4

）+2|，
當θ+

π

4

=

3π

2

，即θ=

5π

4

時，sin（θ+

π

4

）=-1，d取得最小值1，
此時點P的坐標為（1-

2

2

，-

2

2

）．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有直線與圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，點到直線的距離公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)曲線C₁的參數(shù)方程設出所求P的坐標，根據(jù)點到直線的距離公式表示出d，進而利用三角函數(shù)來解決問題是解本題的思路．