Question

函數(shù)f（x）的定義域D={x|x≠0}，且滿足對(duì)任意x₁，x₂∈D，有：f（x₁·x₂）=f（x₁）+f（x₂），
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+ f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，求x的取值范圍。

Answer 1

解：（1）令，
有，
解得：f（1）=0；
令，
解得：f（-1）=0；
（2）f（x）為偶函數(shù)，
證明如下：令，
∴f（-x）=f（x），
即f（x）為偶函數(shù)。
（3）f（4）=1，
∴，
由，
∵f（x）為偶函數(shù)，
又f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴，
解得：，
∴x的取值范圍為。