Question

已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)且f（x）=f（4-x），又f（x）=

-x2- 3 2 x+5，0≤x≤1 2x+2-x，1＜x≤2

，函數(shù)g（x）=（

1

2

）^|x|+a，若F（x）=f（x）-g（x）恰好有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：易知函數(shù)f（x），g（x）都是偶函數(shù)，所以只需判斷F（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即可，也就是函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象在y軸右側(cè)有兩個(gè)不同交點(diǎn)即可．畫(huà)出它們的函數(shù)圖象，問(wèn)題容易解決．

解答： 解：由題意可知f（x）是周期為4的偶函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，且函數(shù)g（x）也是偶函數(shù)，因此只需做出x＞0時(shí)f（x），g（x）的圖象，然后此時(shí)產(chǎn)生兩個(gè)不同交點(diǎn)即可．
作出函數(shù)f（x）、g（x）的圖象如下：

可知，若F（x）恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需

g(1)＞f(1) g(3)＜f(3)

，即

1 2 +a＞ 5 2 ( 1 2 )3+a＜ 5 2

．
解得a∈(2，

19

8

)．
故答案為(2，

19

8

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)的零點(diǎn)與交點(diǎn)的相關(guān)問(wèn)題，需要學(xué)生對(duì)圖象進(jìn)行理解，對(duì)學(xué)生的能力提出很高要求，屬于難題