已知函數(shù)f(x)=x+log2
x
3-x
(x∈(0，3))
（1）求證：f（x）+f（3-x）為定值．
（2）記S(n)=
1
2n
2n-1
i=1
f(1+
i
2n
)(n∈N*)，求S（n）．
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與直線x=1，x=2以及x軸所圍成的封閉圖形的面積為S，試探究S（n）與S的大小關(guān)系．
分析：（1）把x及3-x分別代入已知函數(shù)即可求解f（x）+f（3-x）的值；
（2）由（1）知，f(1+
1
2n
)+f(1+
2n-1
2n
)=3，f(1+
2
2n
)+f(1+
2n-2
2n
)=3，…，結(jié)合此規(guī)律，可考慮利用倒序相加可求和；
（3）由f（x）=x+log2(
3
3-x
-1)為增函數(shù)，結(jié)合（1）知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（
3
2
，
3
2
）對稱，記點A（1，0），B（2，3），C（2，0），可求封閉圖形的面積等于△ABC的面積，即S=
3
2
，而，可判斷
解答：解（Ⅰ）∵f（x）+f（3-x）
=（x+log2
x
3-x
）+[（3-x）+log2
3-x
x
]
=（x+3-x）+log2
x
3-x
•
3-x
x

=3+log2
x
3-x
•
3-x
x
=3+0=3；
（2）S(n)=
1
2n
2n-1
i=1
f(1+
i
2n
)(n∈N*)
=
1
2n
[f(1+
1
2n
)+f(1+
2
2n
)+…+f(1+
2n-1
2n
)]①，
Sn=
1
2n
[f(1+
2n-1
2n
)+f(1+
2n-2
2n
)+…+f(1+
1
2n
)]②，
由（1）知，f(1+
1
2n
)+f(1+
2n-1
2n
)=3，f(1+
2
2n
)+f(1+
2n-2
2n
)=3，…
①+②得：2Sn=
1
2n
[3•(2n-1)]=3（1-
1
2n
），
∴Sn=
3
2
(1-
1
2n
)；
（3）∵f（x）=x+log2(
3
3-x
-1)為增函數(shù)，
∴x∈[1，2]時，f（x）＞f（1）=0，
由（1）知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（
3
2
，
3
2
）對稱，記點A（1，0），B（2，3），C（2，0），
所求封閉圖形的面積等于△ABC的面積，即S=
3
2
，
∵Sn=
3
2
(1-
1
2n
)＜
3
2
，
∴S（n）＜S．
點評：本題以函數(shù)的基本運算為基本載體，主要考查了數(shù)列求和的倒序相加求解和的方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是尋求題目的規(guī)律
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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