Question

5．某市舉行“中學(xué)生詩(shī)詞大賽”海選，規(guī)定：成績(jī)大于或等于90分的具有參賽資格．某校有800名學(xué)生參加了海選，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間[30，150]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖：
（Ⅰ）求獲得參賽資格的人數(shù)；
（Ⅱ）若大賽分初賽和復(fù)賽，在初賽中每人最多有5次選題答題的機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止，答對(duì)3題者方可參加復(fù)賽．已知參賽者甲答對(duì)每一個(gè)問(wèn)題的概率都相同，并且相互之間沒(méi)有影響，已知他連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為$\frac{1}{9}$，求甲在初賽中答題個(gè)數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意計(jì)算成績(jī)?cè)赱90，110）之間的頻率，求出獲得參賽資格的人數(shù)；
（Ⅱ）求出甲答對(duì)每一個(gè)問(wèn)題的概率p，得出甲在初賽中答題個(gè)數(shù)X的所有取值，
計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫(xiě)出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，成績(jī)?cè)赱90，110）之間的頻率為
1-20×（0.0025+0.005+0.0075×2+0.0125）=0.3，
0.3+（0.0125+0.0050）×20=0.65，
故所求獲得參賽資格的人數(shù)為800×0.65=520；
（Ⅱ）設(shè)甲答對(duì)每一個(gè)問(wèn)題的概率為p，則（1-p）²=$\frac{1}{9}$，
∴p=$\frac{2}{3}$，
甲在初賽中答題個(gè)數(shù)X的所有取值為3，4，5；
則P（X=3）=${（\frac{2}{3}）}^{3}$+${（\frac{1}{3}）}^{3}$=$\frac{1}{3}$；
P（X=4）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$+${C}_{3}^{2}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{27}$；
P（X=5）=${C}_{4}^{2}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$${（\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{8}{27}$；
故X的分布列為：

X	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{10}{27}$	$\frac{8}{27}$

數(shù)學(xué)期望為E（X）=3×$\frac{1}{3}$+4×$\frac{10}{27}$+5×$\frac{8}{27}$=$\frac{107}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．