Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}$-ax+b在點（e，f（e））處的切線方程為y=-ax+2e．
（Ⅰ）求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）若存在x∈[e，e²]，滿足f（x）≤$\frac{1}{4}$+e，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導，利用導數(shù)的幾何意義，直線的點斜式方程，即可求得實數(shù)b的值；
（Ⅱ）則a≥$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{4x}$在[e，e²]上有解，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，求得h（x）的取值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{x}{lnx}$-ax+b，x∈（0，1）∪（1，+∞），
求導，f′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$-a，
則函數(shù)f（x）在點（e，f（e））處切線方程y-（e-ex+b）=-a（x-e），
即y=-ax+e+b，
由函數(shù)f（x）在（e，f（e））處的切線方程為y=-ax+2e，比較可得b=e，
實數(shù)b的值e；
（Ⅱ）由f（x）≤$\frac{1}{4}$+e，即$\frac{x}{lnx}$-ax+e≤$\frac{1}{4}$+e，
則a≥$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{4x}$在[e，e²]，上有解，
設h（x）=$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{4x}$，x∈[e，e²]，
求導h′（x）=$\frac{1}{4{x}^{2}}$-$\frac{1}{xl{n}^{2}x}$=$\frac{l{n}^{2}x-4x}{4{x}^{2}l{n}^{2}x}$=$\frac{（lnx+2\sqrt{x}）（lnx-2\sqrt{x}）}{4{x}^{2}l{n}^{2}x}$，
令p（x）=lnx-2$\sqrt{x}$，
∴x在[e，e²]時，p′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$=$\frac{1-\sqrt{x}}{x}$＜0，
則函數(shù)p（x）在[e，e²]上單調(diào)遞減，
∴p（x）＜p（e）=lne-2$\sqrt{e}$＜0，
則h′（x）＜0，及h（x）在區(qū)間[e，e²]單調(diào)遞減，
h（x）≥h（e²）=$\frac{1}{ln{e}^{2}}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$，
∴實數(shù)a的取值范圍[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$，+∞]．

點評 本題考查導數(shù)的綜合應用，導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)求函數(shù)的切線方程，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查計算能力，屬于中檔題．