【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）證明：函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極大值點；

（Ⅲ）證明：函數(shù)有且僅有一個零點.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析（Ⅲ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）求導，從而解得切線的切率，根據(jù)點斜式即可求得結果；

（Ⅱ）根據(jù)的單調性，即可容易求證；

（Ⅲ）根據(jù)的正負，判斷函數(shù)的單調性，即可容易證明.

（Ⅰ）因為，

所以，

，

又因為，

所以切線方程為，

即：.

（Ⅱ）證明：因為和在上單調遞減，

所以在上單調遞減，

且．

又，

所以在內有且僅有一個實數(shù)，使得=0，

并且當時，，

當時，，

所以在區(qū)間上有唯一的極大值點.

（Ⅲ）證明：當時，

，，

此時.

當時，

，，

此時.

當時，

因為，所以在內單調遞增.

因為，，

所以在上有且僅有一個零點.

綜上所述，函數(shù)有且僅有一個零點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著電商的快速發(fā)展，快遞業(yè)突飛猛進，到目前，中國擁有世界上最大的快遞市場.某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過的包裹收費10元；重量超過的包裹，除收費10元之外，每超過（不足，按計算）需再收5元.

該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計如下：

包裹重量（單位：）

1

2

3

4

5

包裹件數(shù)

43

30

15

8

4

公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表：

包裹件數(shù)范圍

0~100

101~200

201~300

301~400

401~500

包裹件數(shù)（近似處理）

50

150

250

350

450

天數(shù)

6

6

30

12

6

以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.

（1）計算該公司未來5天內恰有2天攬件數(shù)在101~300之間的概率；

（2）①估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值；

②根據(jù)以往的經驗，公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費用.目前前臺有工作人員3人，每人每件攬件不超過150件，日工資100元.公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人，試計算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學期望，若你是公司老總，是否進行裁減工作人員1人？

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【題目】已知為坐標原點，點，，，動點滿足，點為線段的中點，拋物線：上點的縱坐標為，.

（1）求動點的軌跡曲線的標準方程及拋物線的標準方程；

（2）若拋物線的準線上一點滿足，試判斷是否為定值，若是，求這個定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，，橢圓上一點到的距離之和為4．過點作直線的垂線交直線于點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）試判斷直線與橢圓公共點的個數(shù)，并說明理由；

（3）直線與直線交于點，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù).

(1)若，求的單調區(qū)間；

(2)若當時恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】單位正方體內部或邊界上不共面的四個點構成的四面體體積的最大值為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】斜率為的直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于、兩點.

（1）設點在第一象限，過作拋物線的準線的垂線，為垂足，且，直線與直線關于直線對稱，求直線的方程；

（2）過且與垂直的直線與圓交于、兩點，若與面積之和為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（2）若,關于的方程有且僅有一個根, 求實數(shù)的取值范圍；

（3）若對任意,不等式均成立, 求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象在處的切線為.（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求，的值；

（2）當時，求證：；

（3）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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