Question

9．已知：向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），向量$\overrightarrow$與向量$\overrightarrow{a}$所成的角為$\frac{π}{3}$，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4．
（1）求向量$\overrightarrow$；
（2）設(shè)$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$，$\overrightarrow{n}$=3k$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$（k為正實數(shù)），當$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$時，判斷$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$與$\overrightarrow{a}$是否共線，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)$\overrightarrow=（x，y）$，根據(jù)$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=4$及向量$\overrightarrow{a}$的坐標，向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角便可得到$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=4}\\{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=4}\end{array}\right.$，這樣便可解出x，y，經(jīng)驗證便可得到$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，從而得出$\overrightarrow=（4，0）$；
（2）可先求出向量$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的坐標，根據(jù)$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$便可得到$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，這樣即可建立關(guān)于k的方程，解方程得出k的值，從而可以求出向量$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$的坐標，這樣便可判斷$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$與$\overrightarrow{a}$是否共線．

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow=（x，y）$，根據(jù)條件：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow=x+\sqrt{3}y=4}\\{\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos\frac{π}{3}=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=4}\end{array}\right.$；
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$（舍去）；
∴$\overrightarrow=（4，0）$；
（2）$\overrightarrow{m}=（1+4k，\sqrt{3}），\overrightarrow{n}=（3k-8，3\sqrt{3}k）$；
∵$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$；
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=（1+4k）（3k-8）+9k=0$；
解得k=2，或k=$-\frac{1}{3}$（舍去）；
∴$\overrightarrow{m}=（9，\sqrt{3}），\overrightarrow{n}=（-2，6\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}=（7，7\sqrt{3}）=7（1，\sqrt{3}）=7\overrightarrow{a}$；
∴$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$與$\overrightarrow{a}$共線．

點評 考查向量數(shù)量積的計算公式，及其數(shù)量積的坐標運算，消元法解二元二次方法，本題中求出x，y時，要驗證是否滿足條件，向量的加法、減法，及數(shù)乘的坐標運算，向量垂直的充要條件，以及共線向量基本定理．