Question

在平面直角坐標系中，定義d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|為兩點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之間的“出租車距離”，則圓x²+y²=1上一點與直線x+2y-4=0上一點的“出租車距離”的最小值為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：根據(jù)新定義，求出過圓上的點與直線x+2y-4=0上一點的“出租車距離”的表達式，然后求出最小值．

解答： 解：設(shè)直線x+2y-4=0上的任意一點坐標（x，y），
圓上任意一點的坐標為； （cosθ，sinθ）
由題意可知：d=|x-cosθ|+|2-

1

2

x-sinθ|
分類討論：
①當(dāng)2-

1

2

x-sinθ≤0，即x≥4-2sinθ時，
可知x＞1≥cosθ，即x-cosθ≥0
d=x-cosθ-（2-

1

2

x-sinθ）=

3

2

x-cosθ-2+sinθ
≥

3

2

（4-2sinθ）-cosθ-2+sinθ
=4-2sinθ-cosθ=4-

5

sin（θ+α）
≥4-

5

；
②當(dāng)2-

1

2

x-sinθ＞0，x-cosθ≥0，即4-2sinθ＞x≥cosθ時，
d=x-cosθ+（2-

1

2

x-sinθ）=

1

2

x-cosθ+2-sinθ
≥

1

2

cosθ-cosθ+2-sinθ
=2-sinθ-

1

2

cosθ=2-

5

2

sin（θ+α）
≥2-

5

2

；
③當(dāng)x-cosθ＜0，即x＜cosθ時，
d=-（x-cosθ）+（2-

1

2

x-sinθ）=-

3

2

x+cosθ+2-sinθ
＞-

3

2

cosθ+cosθ+2-sinθ
=2-sinθ-

1

2

cosθ=2-

5

2

sin（θ+α）
≥2-

5

2

．
則圓x²+y²=1上一點與直線x+2y-4=0上一點的“出租車距離”的最小值為2-

5

2

．
故答案為：2-

5

2

．

點評：本題是中檔題，考查新定義，利用新定義求出函數(shù)的最小值問題，考查計算能力，對新定義的理解和靈活運應(yīng)是解好本題的關(guān)鍵．