Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=1，S_n²=an(Sn-

1

2

)（n≥2）
（1）證明數(shù)列{

1

Sn

}是等差數(shù)列，并求a_n；
（2）設(shè)b_n=

Sn

2n+1

，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；若對(duì)任意的n∈N^*都有Tn＜log

1

2

m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）

S

2 n

=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，整理該遞推式，由等差數(shù)列的定義可作出判斷，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得

1

Sn

，從而可求S_n，根據(jù)an=

S1，n=1 Sn，n≥2

可求a_n；
（2）由（1）可得b_n，利用裂項(xiàng)相消法可求出T_n，進(jìn)而可求其最大值，問題等價(jià)于最大值小于log

1

2

m，解出即可；

解答：（1）證明：

S

2 n

=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，整理可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2（n≥2），
∴{

1

Sn

}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，
則

1

Sn

=2n-1，所以Sn=

1

2n-1

，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

=-

2

(2n-1)(2n-3)

，
所以an=

1，n=1 - 2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

；
（2）解：b_n=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
所以T_n=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

，
對(duì)任意的n∈N^*都有Tn＜log

1

2

m，只須使log

1

2

m≥

1

2

，
解得0＜m≤

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式及數(shù)列求和，考查轉(zhuǎn)化思想，裂項(xiàng)相消法對(duì)數(shù)列求和是高考考查重點(diǎn)內(nèi)容．