如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

(1)證明:AB⊥A1C;
(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABCA1B1C1的體積.
(1)見解析   (2)3

(1)證明:取AB的中點O,連接OC,OA1,A1B.

因為CA=CB,所以O(shè)C⊥AB.
由于AB=AA1,∠BAA1=60°,
故△AA1B為等邊三角形,
所以O(shè)A1⊥AB.
因為OC∩OA1=O,
所以AB⊥平面OA1C.
又A1C?平面OA1C,故AB⊥A1C.
(2)解:由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形,所以O(shè)C=OA1=.
又A1C=,則A1C2=OC2+O,故OA1⊥OC.
因為OC∩AB=O,所以O(shè)A1⊥平面ABC,OA1為三棱柱ABCA1B1C1的高.
又△ABC的面積S△ABC=,故三棱柱ABCA1B1C1的體積V=S△ABC×OA1=3.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D為線段BC的中點，E、F為線段AC的三等分點(如圖①)．將△ABD沿著AD折起到△AB′D的位置，連結(jié)B′C(如圖②)．

圖①

圖②
(1)若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱錐B′-ADC的體積；
(2)記線段B′C的中點為H，平面B′ED與平面HFD的交線為l，求證：HF∥l；
(3)求證：AD⊥B′E.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直三棱柱中，，是中點，是中點．

（1）求三棱柱的體積；
（2）求證：；
（3）求證：∥面．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，點D是AB的中點.

（1）求證：AC1∥平面CDB1；
（2）求四面體B1C1CD的體積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

四面體中，與互相垂直,,且,則四面體的體積的最大值是(   ) .
A．4B．2C．5D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

三棱錐的高為3，側(cè)棱長均相等且為，底面是等邊三角形，則這個三棱錐的體積為（   ）
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知一個正方體的所有頂點在一個球面上,若球的體積為,則正方體的棱長為　　　　.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖所示,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,則四棱錐ABB1D1D的體積為　　　　cm3.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知三棱柱ABC－A1B1C1，底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱垂直于底面，且該三棱柱的外接球的體積為，則該三棱柱的體積為________．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案