Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（1）求證：f（x）≥g（x）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數(shù)a的值；
（3）設F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有兩個極值點x₁、x₂（x₁＜x₂）；求實數(shù)m的取值范圍，并證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）設G（x）=x²-x-lnx，根據(jù)其導函數(shù)得到其最小值即可得到結(jié)論成立；
（2）先令h（x）=f（x）-ag（x）；根據(jù)h（1）=0得到h（x）≥0的必要條件是h'（0）=0；求出a即可；
（3）先求出其導函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為方程2x²-x+m=0在（0，+∞）上有兩個不等的正根，再結(jié)合根與系數(shù)的關系得到m的范圍；進而得到m與x₂之間的關系；最后通過對關于x₂的函數(shù)的求導，找到其最值點，即可得到結(jié)論成立．
解答：解：（1）設G（x）=x²-x-lnx，
故（x＞0）…2'
∴G（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增
∴G（x）≥G（1）=0
∴f（x）≥g（x）…2'
（2）令h（x）=f（x）-ag（x）
∵h（1）=0
所以h（x）≥0的必要條件是h'（0）=0，得a=1…3'
當a=1時，由（1）知h（x）≥0恒成立．
所以a=1…2'
（3）因為F（x）=f（x）+mg（x）=x²-x+mlnx，所以，
F（x）有兩個極值點x₁、x₂等價于
方程2x²-x+m=0在（0，+∞）上有兩個不等的正根
∴得  …2'
由F'（x）=0得m=-2x₂²+x₂，（）
∴F（x₂）=x₂²-x₂+（x₂-2x₂²）lnx₂
設，
得ϕ'（x）=（1-4x）lnx＞0，∴
所以…4'
點評：本題主要考查學生會求函數(shù)的導函數(shù)，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．