Question

【題目】如圖，在各棱長(zhǎng)均為2的正三棱柱中， 分別為棱與的中點(diǎn)， 為線段上的動(dòng)點(diǎn)，其中， 更靠近，且.

(1)證明: 平面；

(2)若與平面所成角的正弦值為，求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析.

(2).

【解析】試題分析：（1）根據(jù)正三角形性質(zhì)得，結(jié)合線面垂直得.因此可得平面，即.再根據(jù)，得平面，（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求夾角，再根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系列方程，解得N坐標(biāo)，最后根據(jù)向量數(shù)量積求異面直線與所成角的余弦值.

試題解析：解：（1）證明：由已知得為正三角形，為棱的中點(diǎn)，

∴，

在正三棱柱中，底面，則.

又，∴平面，∴.

易證，又，∴平面.

（2）解：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則，，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

設(shè) ，

則 ，

易知是平面的一個(gè)法向量，

∴ ，解得.

∴， ， ，，

∴ ，

∴異面直線與所成角的余弦值為.