Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD＞BC．E，F(xiàn)分別為棱AB，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PE⊥BC；
（Ⅱ）求證：EF∥平面PAD；

Answer 1

證明：解（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD∴PA⊥BC
∵∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，
∵PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB
∵E為AB中點(diǎn)，∴PE?平面PAB．
∴BC⊥PE．

（Ⅱ）證明：取CD中點(diǎn)G，連接FG，EG，
∵F為PC中點(diǎn)，
∴FG∥PD
∵FG?平面PAD，PD?平面PAD
∴FG∥平面PAD；
同理，EG∥平面PAD
∵FG∩EG=G，（沒有扣1分）平面EFG∥平面PAD
∴EF∥平面PAD．
分析：（Ⅰ）由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BC，又BC⊥AB，由線面垂直的判定證明BC⊥平面PAB，從而有BC⊥PE；
（Ⅱ）由FG∥平面PAD，EG∥平面PAD，平面EFG∥平面PAD，EF∥平面PAD．
點(diǎn)評(píng)：本題主要通過線線、線面、面面之間的平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化和垂直關(guān)系的關(guān)系，來考查其判定定理和性質(zhì)定理．