Question

如圖，A₁A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A、B的任=A意一點，A₁A=AB=2．
（1）求證：BC⊥平面A₁AC；
（2）求三棱錐A₁-ABC的體積的最大值．

Answer 1

分析：（1）欲證BC⊥平面AA₁C，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面AA₁C內(nèi)兩相交直線垂直，而BC⊥AC，AA₁⊥BC，AA₁∩AC=A滿足定理條件；
（2）設(shè)AC=x，在Rt△ABC中，求出BC，根據(jù)體積公式VA₁-ABC=

1

3

S_△ABC•AA₁表示成關(guān)于x的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求出其最大值．

解答：解：（1）證明：∵C是底面圓周上異于A、B的任意一點，且AB是圓柱底面圓的直徑，
∴BC⊥AC．
∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC．
∵AA₁∩AC=A，AA₁?平面AA₁C，AC?平面AA₁C，
∴BC⊥平面AA₁C．
（2）設(shè)AC=x，在Rt△ABC中，
BC=

AB2-AC2

=

4-x2

（0＜x＜2），
故VA₁-ABC=

1

3

S_△ABC•AA₁=

1

3

•

1

2

•AC•BC•AA₁
=

1

3

x

4-x2

（0＜x＜2），
即VA₁-ABC=

1

3

x

4-x2

=

1

3

x2(4-x2)

=

1

3

-(x2-2)2+4

．
∵0＜x＜2，0＜x²＜4，∴當(dāng)x²=2，即x=

2

時，
三棱錐A₁-ABC的體積最大，其最大值為

2

3

點評：本小題主要考查直線與平面垂直，以及棱柱、棱錐、棱臺的體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．