Question

3．有人在路邊設(shè)局，宣傳牌上寫(xiě)有“擲骰子，贏大獎(jiǎng)”．其游戲規(guī)則是這樣的：你可以在1，2，3，4，5，6點(diǎn)中任選一個(gè)，并押上賭注m元，然后擲1顆骰子，連續(xù)擲3次，若你所押的點(diǎn)數(shù)在3次擲骰子過(guò)程中出現(xiàn)1次，2次，3次，那么原來(lái)的賭注仍還給你，并且莊家分別給予你所押賭注的1倍，2倍，3倍的獎(jiǎng)勵(lì)．如果3次擲骰子過(guò)程中，你所押的點(diǎn)數(shù)沒(méi)出現(xiàn)，那么你的賭注就被莊家沒(méi)收．
（1）求擲3次骰子，至少出現(xiàn)1次為5點(diǎn)的概率；
（2）如果你打算嘗試一次，請(qǐng)計(jì)算一下你獲利的期望值，并給大家一個(gè)正確的建議．

Answer 1

分析 （1）擲3次骰子，至少出現(xiàn)1次為5點(diǎn)的對(duì)立事件是3次都沒(méi)有出現(xiàn)5點(diǎn)，根據(jù)對(duì)立事件的性質(zhì)，能求出擲3次骰子，至少出現(xiàn)1次為5點(diǎn)的概率．
（2）試玩游戲，設(shè)獲利ξ元，則ξ的可能取值為m，2m，3m，-m，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出Eξ=-$\frac{17}{216}$＜0，建議大家不要嘗試．

解答 解：（1）擲3次骰子，至少出現(xiàn)1次為5點(diǎn)的對(duì)立事件是3次都沒(méi)有出現(xiàn)5點(diǎn)，
∴根據(jù)對(duì)立事件的性質(zhì)，擲3次骰子，至少出現(xiàn)1次為5點(diǎn)的概率：
p=1-${C}_{3}^{0}（\frac{5}{6}）^{3}$=$\frac{91}{216}$．
（2）試玩游戲，設(shè)獲利ξ元，則ξ的可能取值為m，2m，3m，-m，
P（ξ=m）=${C}_{3}^{1}×\frac{1}{6}×（\frac{5}{6}）^{2}$=$\frac{75}{216}$，
P（ξ=2m）=C${\;}_{3}^{2}$×（$\frac{1}{6}$）²×$\frac{5}{6}$=$\frac{15}{216}$，
P（ξ=3m）=${C}_{3}^{3}×（\frac{1}{6}）^{3}$=$\frac{1}{216}$，
P（ξ=-m）=${C}_{3}^{0}×（\frac{5}{6}）^{3}=\frac{125}{216}$，
∴Eξ=$\frac{75}{216}×m+\frac{15}{216}×2m+\frac{1}{216}×3m+\frac{125}{216}×（-m）$=-$\frac{17}{216}$m，
∴Eξ＜0，建議大家不要嘗試．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中概率的求法，對(duì)立事件的基本性質(zhì)；對(duì)化歸能力及對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象能力要求較高，屬于中檔難度．