Question

9．在下列五個命題中：
①已知大小分別為1N與2N的兩個力，要使合力大小恰為$\sqrt{6}N$，則它們的夾角為$\frac{π}{3}$；
②已知$α=\frac{2π}{5}$，$β=-\frac{π}{7}$，則sinα＜cosβ；
③若A，B，C是斜△ABC的三個內角，則恒有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立；
④$計算式子sin{50^0}（1+\sqrt{3}tan{10^0}）的結果是\frac{1}{2}$；
⑤已知$\sqrt{3}（cosx+1）=sinx且x∈（0，\frac{3π}{2}）$，則x的大小為$\frac{2π}{3}$；
其中錯誤的命題有①②④⑤．（寫出所有錯誤命題的序號）

Answer 1

分析 ①由平面向量的合成法則和模長公式，求出$\overrightarrow{{F}_{1}}$、$\overrightarrow{{F}_{2}}$的夾角θ≠$\frac{π}{3}$；
②比較sin$\frac{2π}{5}$與cos（-$\frac{π}{7}$）的大小即可；
③由tan（A+B）=tan（π-C）即可得出tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
④利用三角恒等變換計算sin50°（1+$\sqrt{3}$tan10°）的值即可；
⑤求解方程$\sqrt{3}$（cosx+1）=sinx，使解x∈（0，$\frac{3π}{2}$）即可．

解答 解：對于①，|$\overrightarrow{{F}_{1}}$|=1，|$\overrightarrow{{F}_{2}}$|=2，|$\overrightarrow{{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}}$|=$\sqrt{6}$，
∴|${\overrightarrow{{F}_{1}}}^{2}$|+2|$\overrightarrow{{F}_{1}}$|×|$\overrightarrow{{F}_{2}}$|cosθ+|${\overrightarrow{{F}_{2}}}^{2}$|=1+2×1×2×cosθ+4=6cosθ=$\frac{1}{4}$，
∴它們的夾角θ≠$\frac{π}{3}$，①錯誤；
對于②，$α=\frac{2π}{5}$，$β=-\frac{π}{7}$，
且sin$\frac{2π}{5}$=cos（$\frac{π}{2}$-$\frac{2π}{5}$）=cos$\frac{π}{10}$，
cos（-$\frac{π}{7}$）=cos$\frac{π}{7}$0＜$\frac{π}{10}$＜$\frac{π}{7}$＜π，
∴cos$\frac{π}{10}$＞cos$\frac{π}{7}$，
∴sinα＞cosβ，②錯誤；
對于③，斜△ABC中，A+B=π-C，∴tan（A+B）=tan（π-C），
∴$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-tanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，③正確；
對于④，sin50°（1+$\sqrt{3}$tan10°）=sin50°•$\frac{cos10°+\sqrt{3}sin10°}{cos10°}$
=$\frac{2sin50°•sin（10°+30°）}{cos10°}$
=$\frac{2cos40°•sin40°}{cos10°}$
=$\frac{sin80°}{sin80°}$=1，∴④錯誤；
對于⑤，$\sqrt{3}$（cosx+1）=sinx，
∴sinx-$\sqrt{3}$cosx=$\sqrt{3}$，
∴sin（x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又x∈（0，$\frac{3π}{2}$），∴x-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$），
∴x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$或x-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，
解得x=$\frac{2π}{3}$或x=π，⑤錯誤．
綜上，錯誤的命題是①②④⑤．
故答案為：①②④⑤．

點評 本題考查了三角恒等變換與求值的應用問題，也考查了平面向量的數(shù)量積應用問題，是綜合題．