Question

8．設(shè)常數(shù)a≠0，函數(shù)$f（x）=lg\frac{x+1-2a}{x+1+3a}$．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，判斷并證明函數(shù)y=f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性．
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)或偶函數(shù)？若存在，求出a的值，并判斷相應(yīng)的y=f（x）的奇偶性；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lg$\frac{x-1}{x+4}$，利用導(dǎo)數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）假設(shè)存在，利用奇函數(shù)的定義，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lg$\frac{x-1}{x+4}$，
令y=$\frac{x-1}{x+4}$，則y′=$\frac{5}{（x+4）^{2}}$＞0，即函數(shù)y=$\frac{x-1}{x+4}$，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)y=f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）f（-x）=lg$\frac{-x+1-2a}{-x+1+3a}$，f（-x）+f（x）=0，
可得（x-1+2a）（x+1-2a）=（x-1-3a）（x+1+3a），
∴a=-2，函數(shù)是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性，考查增函數(shù)的判斷，考查導(dǎo)數(shù)法，屬于中檔題．