Question

10．如圖，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（0，-1），且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)（1，1），且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（II）把直線PQ的方程代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡計算即可得到結(jié)論．

解答 （I）解：∵橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（0，-1），且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴b=1，$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=1，a=$\sqrt{2}$．
∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（II）證明：由題設(shè)知，直線PQ的方程為y=k（x-1）+1（k≠2），
代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，得（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0．
由條件可知△＞0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁x₂≠0，
則x₁+x₂=$\frac{4k（k-1）}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2k（k-2）}{1+2{k}^{2}}$，
從而直線AP，AQ的斜率之和為：
k_AP+k_AQ=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}+1}{{x}_{2}}$=$\frac{k{x}_{1}-k+2}{{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}-k+2}{{x}_{2}}$=2k+（2-k）$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+（2-k）$\frac{4k（k-1）}{2k（k-2）}$=2k-2（k-1）=2．
所以直線AP、AQ斜率之和為定值2．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查直線的斜率公式，屬于中檔題．