Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^x-kx，x∈R（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若k∈R，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若k＞0，討論函數(shù)f（x）在（-∞，4]上的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，對k進行分類討論，確定x在不同情況下導(dǎo)函數(shù)的符號，進而可得函數(shù)的單調(diào)性．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性k＞0時，討論k取不同值時函數(shù)零點個數(shù)，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-kx，x∈R，得f'（x）=e^x-k，
①當k≤0時，則f'（x）=e^x-k＞0對x∈R恒成立，
此時f（x）的單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；                           
②當k＞0時，
由f'（x）=e^x-k＞0，得到x＞lnk，
由f'（x）=e^x-k＜0，得到x＜lnk，
所以，k＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（lnk，+∞）；遞減區(qū)間是（-∞，lnk）；
綜上，當k≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）．
（2）當k＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（lnk，+∞）；遞減區(qū)間是（-∞，lnk），
當k＞0時，令f'（x）=e^x-k=0，
得x=lnk，且f（x）在（-∞，lnk）上單調(diào)遞減，在（lnk，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）在x=lnk時取得極小值，
即f（x）在（-∞，4]上最多存在兩個零點．
（�。┤艉瘮�(shù)f（x）在（-∞，4]上有2個零點，
則 $\left\{\begin{array}{l}{lnk＜4}\\{f（lnk）=k（1-lnk）＜0}\\{f（4）≥0}\end{array}\right.$，
解得k∈（e，$\frac{{e}^{4}}{4}$]；
（ⅱ）若函數(shù)f（x）在（-∞，4]上有1個零點，
則f（4）＜0或 $\left\{\begin{array}{l}{lnk≤4}\\{f（lnk）=0}\end{array}\right.$，
解得k∈（$\frac{{e}^{4}}{4}$，+∞）或k=e；                                                               
（ⅲ）若函數(shù)f（x）在（-∞，4]上沒有零點，
則 $\left\{\begin{array}{l}{lnk＞4}\\{f（4）＞0}\end{array}\right.$或f（lnk）=k（1-lnk）＞0，
解得k∈（0，e）．                                                        
綜上所述，當k∈（e，$\frac{{e}^{4}}{4}$]時，f（x）在（-∞，4]上有2個零點；
當k∈（$\frac{{e}^{4}}{4}$，+∞）∪（-∞，0）或k=e時，f（x）在（-∞，4]上有1個零點；
當k∈[0，e）時，f（x）在（-∞，4]上無零點．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，特別是第（2）中分類比較復(fù)雜，難度較大．