Question

6．如圖已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱BC、AD的中點(diǎn)
（1）若PD=1，求異面直線PB和DE所成角的余弦值；
（2）若四棱錐P-ABCD的體積為$\frac{8}{3}$，求四棱錐P-ABCD全面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一對(duì)對(duì)邊平行且相等，得到一個(gè)四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行，把兩條異面直線所成的角表示出來，放到△PBF中，利用余弦定理求出角的余弦值．
（2）利用四棱錐P-ABCD的體積為$\frac{8}{3}$，求出PD，求出PA=PC=2$\sqrt{2}$，即可求出四棱錐P-ABCD全面積．

解答 解：（1）E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點(diǎn)，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形
∴DF∥BE且DF=BE
∴DFBE為平行四邊形
∴DE∥BF
∴∠PBF是PB與DE的所成角
△PBF中，BF=$\sqrt{5}$，PF=$\sqrt{2}$，PB=3，
∴cos∠PBF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴異面直線PB和DE所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）設(shè)PD=a，則
∵四棱錐P-ABCD的體積為$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{1}{3}×2×2×a$=$\frac{8}{3}$，
∴a=2，
∵PD⊥AB，AD⊥AB，PD∩AD=D，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PA，
同理BC⊥PC，
從而PA=PC=2$\sqrt{2}$，
∴四棱錐P-ABCD全面積S=2×$2+2×2\sqrt{2}+2×2$=8+4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查立體幾何的綜合問題，考查異面直線PB和DE所成角的余弦值、四棱錐P-ABCD全面積，屬于中檔題．