Question

6．已知cosα=$\frac{1}{3}$，cos（α+β）=-$\frac{1}{3}$，且α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），則cosβ=$\frac{7}{9}$，2α+β=π．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式先求sinα，sin（α+β）的值，根據(jù)兩角和與差的余弦函數(shù)公式可求cosβ，cos（2α+β）的值，求得2α+β的范圍，從而確定其值．

解答 解：∵cosα=$\frac{1}{3}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），cos（α+β）=-$\frac{1}{3}$，
∴α+β∈（0，π），sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=（-$\frac{1}{3}$）×$\frac{1}{3}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{7}{9}$，
cos（2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos（α+β）cosα-sin（α+β）sinα=（-$\frac{1}{3}$）×$\frac{1}{3}$-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=-1，
∵2α+β∈（0，$\frac{3π}{2}$），
∴2α+β=π．
故答案為：$\frac{7}{9}$，π．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．