【題目】已知橢圓：，過(guò)原點(diǎn)作射線(xiàn)交橢圓于，平行四邊形的頂點(diǎn)，在橢圓上.

（1）若射線(xiàn)的斜率為，求直線(xiàn)的斜率；

（2）求證：四邊形的面積為定值.

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）將射線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立可求得點(diǎn)坐標(biāo)，由此得到中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法可求得直線(xiàn)斜率；

（2）①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性可知四邊形為菱形，可求得其面積為；②當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，結(jié)合平面向量線(xiàn)性運(yùn)算可求得點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程得到的關(guān)系；利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式表示出和原點(diǎn)到直線(xiàn)距離，由化簡(jiǎn)可得面積為；綜合兩種情況可得結(jié)論.

（1）設(shè)射線(xiàn)的方程為，與橢圓聯(lián)立得：，

當(dāng)時(shí)，中點(diǎn)，

四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，

設(shè)，，

，兩式作差得：，

；

當(dāng)時(shí)，同理可求得；

綜上所述：直線(xiàn)的斜率為.

（2）①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，四邊形為菱形，且平分，

方程為或，，；

②當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：，

由得：，

則，整理得：，

設(shè)，，則，，

，

四邊形為平行四邊形，，

即點(diǎn)坐標(biāo)為，即，

在橢圓上，，整理得：，

，

又原點(diǎn)到直線(xiàn)距離，；

綜上所述：四邊形的面積為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】足球起源于中國(guó)東周時(shí)期的齊國(guó)，當(dāng)時(shí)把足球稱(chēng)為“蹴鞠”.漢代蹴鞠是訓(xùn)練士兵的手段，制定了較為完備的體制.如專(zhuān)門(mén)設(shè)置了球場(chǎng)，規(guī)定為東西方向的長(zhǎng)方形，兩端各設(shè)六個(gè)對(duì)稱(chēng)的“鞠域”，也稱(chēng)“鞠室”，各由一人把守.比賽分為兩隊(duì)，互有攻守，以踢進(jìn)對(duì)方鞠室的次數(shù)決定勝負(fù).1970年以前的世界杯用球多數(shù)由舉辦國(guó)自己設(shè)計(jì)，所以每一次球的外觀(guān)都不同，拼塊的數(shù)目如同擲骰子一樣沒(méi)準(zhǔn).自1970年起，世界杯官方用球選擇了三十二面體形狀的足球，沿用至今.如圖Ⅰ，三十二面體足球的面由邊長(zhǎng)相等的12塊正五邊形和20塊正六邊形拼接而成，形成一個(gè)近似的球體.現(xiàn)用邊長(zhǎng)為的上述正五邊形和正六邊形所圍成的三十二面體的外接球作為足球，其大圓圓周展開(kāi)圖可近似看成是由4個(gè)正六邊形與4個(gè)正五邊形以及2條正六邊形的邊所構(gòu)成的圖形的對(duì)稱(chēng)軸截圖形所得的線(xiàn)段，如圖Ⅱ，則該足球的表面積約為( )

參考數(shù)據(jù)：，，，

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：（i）；

（ii）對(duì)任意，對(duì)恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面．底面是菱形，．

（Ⅰ）求證：直線(xiàn)平面；

（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正切值；

（Ⅲ）已知在線(xiàn)段上，且，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若存在最大值，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）令，，求證：對(duì)任意的，總存在最小值，且.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著社會(huì)發(fā)展對(duì)環(huán)保的要求，越來(lái)越多的燃油汽車(chē)被電動(dòng)汽車(chē)取代，為了了解某品牌的電動(dòng)汽車(chē)的節(jié)能情況，對(duì)某一輛電動(dòng)汽車(chē)“行車(chē)數(shù)據(jù)”的兩次記錄如下表：

記錄時(shí)間

累計(jì)里程

（單位：公里）

平均耗電量（單位：公里）

剩余續(xù)航里程

（單位：公里）

2020年1月1日

5000

0.125

380

2020年1月2日

5100

0.126

246

（注：累計(jì)里程指汽車(chē)從出廠(chǎng)開(kāi)始累計(jì)行駛的路程，累計(jì)耗電量指汽車(chē)從出廠(chǎng)開(kāi)始累計(jì)消耗的電量，）

下面對(duì)該車(chē)在兩次記錄時(shí)間段內(nèi)行駛100公里的耗電量估計(jì)正確的是（ ）

A.等于B.到之間C.等于D.大于

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】工廠(chǎng)質(zhì)檢員從生產(chǎn)線(xiàn)上每半個(gè)小時(shí)抽取一件產(chǎn)品并對(duì)其某個(gè)質(zhì)量指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)，一共抽取了件產(chǎn)品，并得到如下統(tǒng)計(jì)表．該廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品在一年內(nèi)所需的維護(hù)次數(shù)與指標(biāo)有關(guān)，具體見(jiàn)下表.

質(zhì)量指標(biāo)

頻數(shù)

一年內(nèi)所需維護(hù)次數(shù)

（1）以每個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值作為每組指標(biāo)的代表，用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該廠(chǎng)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的平均值（保留兩位小數(shù)）；

（2）用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取件產(chǎn)品，再?gòu)?/span>件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件產(chǎn)品，求這件產(chǎn)品的指標(biāo)都在內(nèi)的概率；

（3）已知該廠(chǎng)產(chǎn)品的維護(hù)費(fèi)用為元/次，工廠(chǎng)現(xiàn)推出一項(xiàng)服務(wù)：若消費(fèi)者在購(gòu)買(mǎi)該廠(chǎng)產(chǎn)品時(shí)每件多加元，該產(chǎn)品即可一年內(nèi)免費(fèi)維護(hù)一次.將每件產(chǎn)品的購(gòu)買(mǎi)支出和一年的維護(hù)支出之和稱(chēng)為消費(fèi)費(fèi)用.假設(shè)這件產(chǎn)品每件都購(gòu)買(mǎi)該服務(wù)，或者每件都不購(gòu)買(mǎi)該服務(wù)，就這兩種情況分別計(jì)算每件產(chǎn)品的平均消費(fèi)費(fèi)用，并以此為決策依據(jù)，判斷消費(fèi)者在購(gòu)買(mǎi)每件產(chǎn)品時(shí)是否值得購(gòu)買(mǎi)這項(xiàng)維護(hù)服務(wù)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）

A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞

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同步練習(xí)冊(cè)答案