【題目】設函數(shù).

（1）若存在最大值，且，求實數(shù)的取值范圍；

（2）令，，求證：對任意的，總存在最小值，且.

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）先確定函數(shù)定義域，再求導可得，分情況進行討論，根據(jù)函數(shù)的單調性，由存在最大值，且，解出實數(shù)的取值范圍；（2）將代入函數(shù)，對函數(shù)進行化簡整理，可得，求導，利用導數(shù)分析函數(shù)單調性，進而得證.

（1）由于的定義域為，，

當時，在上為單調函數(shù)，此時無最大值；

當時，由得，知在上單調遞增，在上單調遞減，故為的極大值點.

故，解得：.

綜上，當時，有最大值.

（2）當時，.

，由于，則，，

并且在上單調遞增，故存在唯一的，使得，

從而，當時，，即在上單調遞減；

當時，，即在上單調遞增.

故函數(shù)存在最小值，結合即，得

.

綜上得，對任意的，總存在最小值，且.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為（其中t為參數(shù)，）.在以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸所建立的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為.設直線l與曲線C相交于A，B兩點.

（1）求曲線C和直線l的直角坐標方程；

（2）已知點，求的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】皮埃爾·德·費馬，法國律師和業(yè)余數(shù)學家，被譽為“業(yè)余數(shù)學家之王”，對數(shù)學界做出了重大貢獻，其中在1636年發(fā)現(xiàn)了：若是質數(shù)，且互質，那么的次方除以的余數(shù)恒等于1，后來人們稱該定理為費馬小定理.依此定理若在數(shù)集中任取兩個數(shù)，其中一個作為，另一個作為，則所取兩個數(shù)不符合費馬小定理的概率為（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校高一年級開設了豐富多彩的校本課程，現(xiàn)從甲、乙兩個班隨機抽取了5名學生校本課程的學分，統(tǒng)計如下表．

甲

8

11

14

15

22

乙

6

7

10

23

24

用分別表示甲、乙兩班抽取的5名學生學分的方差，計算兩個班學分的方差．得______，并由此可判斷成績更穩(wěn)定的班級是______班．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：，過原點作射線交橢圓于，平行四邊形的頂點，在橢圓上.

（1）若射線的斜率為，求直線的斜率；

（2）求證：四邊形的面積為定值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司在2019年新研發(fā)了一種設備，為測試其性能，從設備生產(chǎn)的流水線上隨機抽取30件零件作為樣本，測量其重量后，得到下表的相關數(shù)據(jù).為了評判某臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其重量為，并根據(jù)以下不等式進行評判（表示相應事件的概率）：①；②；評判規(guī)則為：若同時滿足上述兩個不等式，則設備等級為；僅滿足其中一個，則等級為；若全部不滿足，則等級為.

經(jīng)計算，樣本的平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值.

重量/

18

19

21

22

23

24

26

28

29

30

件數(shù)/個

1

1

2

2

6

8

5

2

1

2

（1）試判斷設備的性能等級；

（2）若或的零件認為是次品，其余為非次品.設30個樣本中次品個數(shù)為，現(xiàn)需要從中取出全部次品和2件非次品形成個小樣本，該公司從該小樣本中機抽取2件零件，求取出的兩件零件中恰有一件是次品的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系.xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（ 為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=4sinθ.

（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程；

（2）已知曲線C2的極坐標方程為，點A是曲線C3與C1的交點，點B是曲線C3與C2的交點，且A，B均異于原點O，且|AB|=4，求α的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）記，試判斷函數(shù)的極值點的情況；

（2）若有且僅有兩個整數(shù)解，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了提高學生的身體素質，某校高一、高二兩個年級共336名學生同時參與了“我運動，我健康，我快樂”的跳繩、踢毽等系列體育健身活動.為了了解學生的運動狀況，采用分層抽樣的方法從高一、高二兩個年級的學生中分別抽取7名和5名學生進行測試.下表是高二年級的5名學生的測試數(shù)據(jù)（單位：個/分鐘）：

（1）求高一、高二兩個年級各有多少人？

（2）設某學生跳繩個/分鐘，踢毽個/分鐘.當，且時，稱該學生為“運動達人”.

①從高二年級的學生中任選一人，試估計該學生為“運動達人”的概率；

②從高二年級抽出的上述5名學生中，隨機抽取3人，求抽取的3名學生中為“運動達人”的人數(shù)的分布列和數(shù)學期望.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案