Question

在四棱錐中，//，，，平面，.

（1）求證：平面；

（2）求異面直線與所成角的余弦值；

（3）設(shè)點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．

 

Answer 1

（1）見解析（2），（3）

【解析】

試題分析：（1）建立如圖所示坐標(biāo)系，

寫出坐標(biāo)，可得坐標(biāo)，由＝，＝知，.所以平面；（2）由向量的夾角可知異成直線與所成角；（3）為線段上一點(diǎn)，設(shè)其中可得，由直線與平面所成角的正弦值為，利用與平面的法向量夾角,可得.其中為直線與平面所成角.．即 .

試題解析：（1）證明：因?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719581010226486/SYS201411171958166494362012_DA/SYS201411171958166494362012_DA.030.png">，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系， １分

則，，，.

所以 ，，

， ２分

所以，

.

所以 ，.

因?yàn)?，平面，

平面，

所以 平面. ４分

（2） ， ５分

異成直線與所成角的余弦值 8分

（3）【解析】
設(shè)（其中），，直線與平面所成角為.

所以 .所以 .

所以 即. ９分

所以 .

平面的一個法向量為. １０分

因?yàn)?，

所以 . １１分

解得 .所以 . 12分

考點(diǎn)：本題主要考查空間向量的運(yùn)算，線面之間的位置關(guān)系，線與線所成的角；考查空間想象能力，化歸能力.