Question

8．已知函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）+kx是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-x，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2，1]上的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的定義求出k的值即可；
（2）由（1）可得g（x）=log₂（4^x+1）-2x=log₂（1+$\frac{1}{{4}^{x}}$），分析函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2，1]上的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）．
∴l(xiāng)og2（4-x+1）-kx=log2（4x+1）+kx，
∴2x+2kx=0．
由于此式對(duì)于一切x∈R恒成立，
∴k=-1
（2）由（1）得：f（x）=log₂（4^x+1）-x，
∴g（x）=f（x）-x=log₂（4^x+1）-2x=log₂（$\frac{{4}^{x}+1}{{4}^{x}}$）=log₂（1+$\frac{1}{{4}^{x}}$），
故函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2，1]上為減函數(shù)，
當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取最大值log₂17，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值log₂$\frac{5}{4}$，
故函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2，1]上的取值范圍為[log₂$\frac{5}{4}$，log₂17]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，難度中檔．