在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其外接圓的半徑R=1，則（4a2+9b2+c2）（
1
sin2A
+
1
sin2B
+
1
sin2C
）的最小值為
 
．
考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理
專題：解三角形
分析：由正弦定理求出
1
sin2A
、
1
sin2B
、
1
sin2C
，代入式子化簡(jiǎn)后，利用基本不等式求出式子的最小值．
解答： 解：因?yàn)橥饨訄A的半徑R=1，所以
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2，
則
1
sin2A
=
4
a2
、
1
sin2B
=
4
b2
、
1
sin2C
=
4
c2
，
所以（4a2+9b2+c2）（
1
sin2A
+
1
sin2B
+
1
sin2C
）
=（4a2+9b2+c2）（
4
a2
+
4
b2
+
4
c2
）
=16+
16a2
b2
+
16a2
c2
+
36b2
a2
+36+
36b2
c2
+
4c2
a2
+
4c2
b2
+4
=56+（
16a2
b2
+
36b2
a2
）+（
16a2
c2
+
4c2
a2
）+（
36b2
c2
+
4c2
b2
）
≥56+2
16a2
b2
•
36b2
a2
+2
16a2
c2
•
4c2
a2
+2
36b2
c2
•
4c2
b2

=56+48+16+24=144，（當(dāng)且僅當(dāng)c=
2
a=
3
b時(shí)取等號(hào)），
故所求的最小值是144，
故答案為：144．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理，以及基本不等式的應(yīng)用，注意等號(hào)成立的條件的驗(yàn)證，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

證明：函數(shù)y=|Asin（ωx+φ）|的最小正周期為
π
ω
（其中A，ω，φ為常數(shù)，A≠0，ω＞0），x∈R．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知全集U=R，若集合A={x|x2-x＜0}，則∁UA=（　�。�
A、{x|x≤0，或x≥1}
B、{x|x＜0，或x＞1}
C、{x|0＜x＜1}
D、{x|x≥1}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若復(fù)數(shù)Z1=1+i，Z2=3-i，則
Z2
Z1
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

計(jì)算：210-C
 
1
10
29+C
 
2
10
28-C
 
3
10
27+…-C
 
9
10
2=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x2-2x，g（x）=
x+
1
4x
，x＞0
x+1，x≤0
若方程g[f（x）]-a=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)有4個(gè)，則a的取值范圍（　�。�
A、[1，
5
4
)
B、[1，+∞）
C、（1，+∞）
D、(-
5
4
，1]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知三條直線x-2y+1=0、x-1=0、2x+y-m=0將圓面（x-1）2+（y-1）2≤1劃分為七部分，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A、（1，4）
B、（2，4）
C、（2，3）∪（3，4）
D、（1，3）∪（3，4）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知sin[α-
(2n+1)π
2
]=
3
5
，α∈（0，
π
2
）∪（
π
2
，π），求tanα+cotα的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

等比數(shù)列的前三項(xiàng)a1，a2，a3的和為定值m（m＞0），且其公比為q＜0，令t=a1a2a3，則t的取值范圍為（　�。�
A、[-m3，0）
B、[-m3，+∞）
C、（0，m3]
D、（-∞，m3]

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