Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos²x，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow$=（1，cosx），函數(shù)f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+m，且當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{6}$]時，f（x）的最小值為2．
（Ⅰ）求m的值，并求f（x）圖象的對稱軸方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=[f（x）²]-f（x），x∈[0，$\frac{π}{6}$]，求g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，利用三角恒等變換公式，即可求出結(jié)果；
（Ⅱ）求出f（x）的值域，再用換元法計算設(shè)f（x）=t，求y=g（t）的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（cos²x，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow$=（1，cosx），
∴f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+m
=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+m
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+m+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，
又x∈[0，$\frac{π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）的最小值為m+2=2，解得m=0；
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1；
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得f（x）圖象的對稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x∈[0，$\frac{π}{6}$]時，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，f（x）∈[2，3]；
設(shè)f（x）=t，則y=g（t）=t²-t，t∈[2，3]，
∴t=3時y取得最大值6；
即函數(shù)g（x）的最大值為6．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積以及三角恒等變換的應(yīng)用問題，也考查了復(fù)合函數(shù)的最值問題，是基礎(chǔ)題目．