Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過區(qū)域D

x≥0 y≥0 x+ 2 y≤ 2

的兩個頂點．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P是該橢圓上的一個動點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C的兩個焦點，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）設(shè)過定點M（0，2）且斜率為k的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，在y軸上是否存在定點E使

AE

•

BE

為定值？若存在，求出E點坐標(biāo)和這個定值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）確定區(qū)域的頂點坐標(biāo)，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用向量的數(shù)量積公式，即可求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）設(shè)動直線l的方程y=kx+2，代入橢圓方程可得（1+2k²）x+8kx+6=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能推導(dǎo)出在y軸上存在定點E使

AE

•

BE

為定值．

解答： 解：（1）區(qū)域D

x≥0 y≥0 x+ 2 y≤ 2

的頂點為（0，0），（

2

，0），（0，1），
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過區(qū)域D

x≥0 y≥0 x+ 2 y≤ 2

的兩個頂點，
∴a=

2

，b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則

PF1

•

PF2

=（-1-x₀，-y₀）•（1-x₀，-y₀）=

1

2

x₀²，
∵x₀²∈[0，2]，
∴

PF1

•

PF2

的最大值為1，最小值為0；
（3）設(shè)過定點M（0，2）且斜率為k的直線l的方程為y=kx+2，
代入橢圓方程可得（1+2k²）x+8kx+6=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x₁+x₂=-

8k

1+2k2

，x₁x₂=

6

1+2k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=-

2k2-4

2k2+1

，y₁+y₂=

5

2k2+1

，
設(shè)E（0，m），則

AE

•

BE

=（-x₁，m-y₁）•（-x₂，m-y₂）=

(2m2-2)k2+m2-4m+10

2k2+1

，
若

AE

•

BE

=t，則

(2m2-2)k2+m2-4m+10

2k2+1

=t，
∴（2m²-2-2t）k²+m²-4m+10-t=0，
∴2m²-2-2t=0，m²-4m+10-t=0，
∴m=

11

4

，t=

105

16

，
∴存在E（0，

11

4

），使

AE

•

BE

為

105

16

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點的坐標(biāo)是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．