Question

已知函數(shù)f（x）=mx³+nx+k為奇函數(shù)，且f（x）在x=

3

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時(shí)取得極值-

2 3

9

．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m，n，k的值；
（Ⅱ）過(guò)定點(diǎn)Q（a，b）（a＞0）作曲線y=f（x）的切線，若這樣的切線可以作出三條．求證：-a＜b＜f（a）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，得到f（0）=0，求出k，在根據(jù)f（x）在x=

3

3

時(shí)取得極值-

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9

得到f′（

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）=0，f（

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）=-

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，代入求值即可．
（Ⅱ）先設(shè)切點(diǎn)為（t，t³-t），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何是切線的斜率，列出關(guān)于t的一個(gè)方程，然后根據(jù)此方程必須有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，結(jié)合相應(yīng)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，最后利用函數(shù)的極值點(diǎn)列出不等關(guān)系即可證明．

解答： 解（Ⅰ）：∵f（x）=mx³+nx+k為奇函數(shù)．
∴f（0）=0，
∴k=0，
∴f′（x）=3mx³+n，
∵f（x）在x=

3

3

時(shí)取得極值-

2 3

9

．
∴f′（

3

3

）=0，f（

3

3

）=-

2 3

9

∴

m+n=0 m+3n=-2

 解得m=1，n=-1，
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)P（t，t³-t），則切線方程為：y-t³+t=（3t²-1）（x-t），
∵過(guò)定點(diǎn)Q（a，b），
∴b-t³+t=（3t²-1）（a-t），
即2t³-3at²+a+b=0，
∵直線PQ有三條，
∴方程2t³-3at²+a+b=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，（8分）
∴函數(shù)g（t）=2t³-3at²+a+b有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴g′（t）=6t²-6at，
令g′（t）=0，解得t=0，或t=a，
當(dāng)t=0時(shí)，g（t）有極大值，極大值為g（0）=a+b，
當(dāng)t=a時(shí)，g（t）有極小值，極小值為g（a）=a-a³+b，
∴

a+b＞0 a-a3+b＜0

∴-a＜b＜a³-a，
∴-a＜b＜f（a）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、函數(shù)的零點(diǎn)、直線的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．