Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-2alnx+（a-2）x，a∈R$
（Ⅰ）當(dāng)a＜0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：當(dāng)$a≤-\frac{1}{2}$時(shí)，對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＞x₁，都有f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，分母為正，分子結(jié)合二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，找出函數(shù)值為正值、負(fù)值的區(qū)間，得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，
（Ⅱ）構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）-ax，只要使函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)即可，利用其導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0可求解a的取值范圍，問題得以證明．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x-$\frac{2a}{x}$+（a-2）=$\frac{{x}^{2}+（a-2）-2a}{x}$=$\frac{（x-2）（x+a）}{x}$
∴（1）當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，
若x∈（0，-a），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
x∈（-a，2），f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
x∈（2，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
（2）當(dāng)a=-2時(shí)，x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
（3）當(dāng)a＜-2時(shí)，x∈（0，2），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
x∈（2，-a），f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
 x∈（-a，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
（Ⅱ）證明：對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＞x₁，都有f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁成立．
令g（x）=f（x）-ax，即有g(shù)（x）在（0，+∞）為增函數(shù)．
又函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx-2x．
考查函數(shù)g′（x）=x-$\frac{2a}{x}$-2=$\frac{{x}^{2}-2x-2a}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}-1-2a}{x}$，
要使g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
只要-1-2a≥0，即a≤-$\frac{1}{2}$，
故當(dāng)$a≤-\frac{1}{2}$時(shí)，對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＞x₁，都有f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法解決不等式恒成立問題，涉及到了分類討論的思想方法，屬于中檔題．