Question

1．已知平面內(nèi)一動點M到兩定點$B_1^{\;}（{0，-1}），B_2^{\;}（{0，1}）$和連線的斜率之積為$-\frac{1}{2}$
（1）求動點M的軌跡E的方程；
（2）設直線l：y=x+m與軌跡E交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸點P，當m變化時，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設出M的坐標，結(jié)合題意列式化簡得答案；
（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用弦長公式求得弦長，再由點到直線的距離公式求出P到AB的距離，代入三角形面積公式，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）設M的坐標為（x，y），
依題意得：$\frac{y+1}{x}•\frac{y-1}{x}=-\frac{1}{2}$，
化簡得：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1（x≠0）$；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0．
∵直線與橢圓有兩個不同交點，
由根與系數(shù)的關系得：${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{3}$．
∴△=（4m）²-12（2m²-2）＞0，即$-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$且m≠-1，0，1．
設A，B中點為C，C點橫坐標為${x}_{C}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{2m}{3}$，${y}_{C}={x}_{C}+m=\frac{m}{3}$．
∴$C（-\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}）$，
∴線段AB的垂直平分線方程為$y-\frac{m}{3}=-（x+\frac{2m}{3}）$，
∴P點坐標為（$-\frac{m}{3}，0$）．
P到AB的距離d=$\frac{|\frac{2}{3}m|}{\sqrt{2}}$．
由弦長公式得：|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+x）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}•\sqrt{24-8{m}^{2}}$．
∴${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}×\frac{|\frac{2}{3}m|}{\sqrt{2}}×\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{9}\sqrt{{m}^{2}（3-{m}^{2}）}$$≤\frac{2\sqrt{2}}{9}•\frac{{m}^{2}+3{-m}^{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$．
當且僅當${m}^{2}=\frac{3}{2}$，即m=$±\frac{\sqrt{6}}{2}$∈（$-\sqrt{3}，\sqrt{3}$）時等號成立．
∴△PAB面積的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了弦長公式的應用，是中檔題．