Question

6．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，平面BB₁C₁C⊥底面ABC，點(diǎn)M、D分別是線段AA₁、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥CC₁；
（2）求證：AD∥平面MBC₁．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AD⊥BC，從而⊥平面BB₁C₁C，由此能證明AD⊥CC₁．
（2）連結(jié)B₁C，與BC₁交于點(diǎn)E，連結(jié)EM，DE，推導(dǎo)出四邊形ADEM是平行四邊形，由此能證明AD∥平面MBC₁．

解答 證明：（1）∵AB=AC，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
又平面BB₁C₁C⊥底面ABC，AD?平面ABC，
平面BB₁C₁C∩底面ABC=BC，
∴AD⊥平面BB₁C₁C，
又CC₁?平面BB₁C₁C，
∴AD⊥CC₁．
（2）連結(jié)B₁C，與BC₁交于點(diǎn)E，連結(jié)EM，DE，
在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，
∴點(diǎn)E為B₁C的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴DE∥B₁B，DE=$\frac{1}{2}$B₁B，
又占M是AA₁的中點(diǎn)，AA₁∥BB₁，
∴AM∥B₁B，AM=$\frac{1}{2}$BB₁，
∴AM$\underset{∥}{=}$DE，∴四邊形ADEM是平行四邊形，
∴EM∥AD，
又EM?平面MBC₁，AD?平面MBC₁，
∴AD∥平面MBC₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．