Question

己知函數(shù)h（x）=（x∈R，且x＞2）的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，3），將函數(shù)y=h（x）的圖象向左平移2個(gè)單位后得到函數(shù)y=f（x）的圖象．
（I ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）若g（x）=f（x）+，g（x）在區(qū)間（0，3]上的值不小于8，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數(shù)h（x）=（x∈R，且x＞2）的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，3），
∴函數(shù)h（x）=（x∈R，且x＞2）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，4），
∴=4，?m=7，
∴h（x）==（x-2）+，
∴f（x）=h（x+2）=x+． …（3分）
（Ⅱ）∵g（x）=x+，
∴由已知有x+≥8有a≥-x²+8x-3，
令t（x）=-x²+8x-3，則t=-（x-4）²+13，于是t（x）在（0，3）上是增函數(shù)．
∴t（x）_max=12．
∴a≥12．…（12分）
分析：（Ⅰ）先根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得出函數(shù)h（x）=（x∈R，且x＞2）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，4），將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得出m，由于h（x）==（x-2）+，從而f（x）=h（x+2）=x+．
（II）根據(jù)題意得出x+≥8有a≥-x²+8x-3，令t（x）=-x²+8x-3，則t=-（x-4）²+13，利用t（x）在（0，3）上是增函數(shù)．求出其最大值，從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、反函數(shù)、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．