Question

（2013•福建）如圖，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2

2

，點(diǎn)M在線段PQ上，
（Ⅰ）若OM=

5

，求PM的長(zhǎng)；
（Ⅱ）若點(diǎn)N在線段MQ上，且∠MON=30°，問：當(dāng)∠POM取何值時(shí)，△OMN的面積最小？并求出面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△OMP中，利用∠OPM=45°，OM=

5

，OP=2

2

，通過(guò)余弦定理，求PM的長(zhǎng)；
（Ⅱ）利用正弦定理求出ON、OM，表示出△OMN的面積，利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)我一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)角α的范圍，得到相位的范圍，然后利用正弦函數(shù)的值域求解三角形面積的最小值，求出面積的最小值．

解答：解：（Ⅰ）在△OMP中，∠OPM=45°，OM=

5

，OP=2

2

，
由余弦定理可得，OM²=OP²+MP²-2×OP•MPcos45°，
解得PM的長(zhǎng)為1或3；
（Ⅱ）設(shè)∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理可得：

OM

sin∠OPM

=

OP

sin∠OMP

，
OM=

OPsin45°

sin(45°+α)

，
同理，ON=

OPsin45°

sin(75°+α)

，
故S△OMN=

1

2

OM•ONsin∠MON
=

1

4

×

OP2sin245°

sin(45°+α)sin(75°+α)

=

1

sin(45°+α)sin(45°+α+30°)

=

1

sin(45°+α)[ 3 2 sin(45°+α)+ 1 2 cos(45°+α)]

=

1

3 2 sin2(45°+α)+ 1 2 sin(45°+α)cos(45°+α)]

=

1

3 4 + 3 4 sin2α+ 1 4 cos2α

=

1

3 4 + 1 2 sin(2α+30°)

因?yàn)?°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°，
所以當(dāng)α=30°時(shí)，sin（2α+30°）的最大值為1，
此時(shí)，△OMN的面積最小，面積的最小值8-4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理與余弦定理在三角形中的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形的最值的求法，考查計(jì)算能力與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．