Question

如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求三棱錐A-BCE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由DE⊥平面ACD，得DE⊥AF．再由等腰三角形的中線(xiàn)也是高，得到AF⊥CD，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理，可得AF⊥平面CDE．
（II）由直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)，可知點(diǎn)E到平面ABC的距離h等于點(diǎn)D到平面ABC的距離，并且這個(gè)距離等于△ABC中AC邊上的高，這樣將三棱錐A-BCE的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐E-ABC的體積，再結(jié)合Rt△ABC的面積，不難求出該幾何體的體積．

解答：解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又∵AC=AD，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，∴AF⊥CD，
∵CD∩DE=D，CD、DE⊆平面CDE
∴AF⊥平面CDE．
（Ⅱ）∵AB⊥平面ACD，可得AB⊥AC，
∴S△ABC=

1

2

×2×1=1，
∵DE∥AB，
∴點(diǎn)E到平面ABC的距離h等于點(diǎn)D到平面ABC的距離，
即△ABC中AC邊上的高h=

3

2

×2=

3

．
∴三棱錐體積V_{三棱錐A-BCE}=V_{三棱錐E-ABC}=

1

3

S△_ABC中×h=

1

3

×1×

3

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊多面體，求證線(xiàn)面垂直并且求三棱錐的體積，著重考查了直線(xiàn)與平面垂直的判定與性質(zhì)、直線(xiàn)與平面的距離和錐體的體積公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．