Question

如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1．
（1）求直線AE與平面CDE所成角的大小（用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析：（1）要求線面角，必需找到該斜線與其射影的夾角，即要證明線面垂直，進(jìn)而得到垂線、斜線與斜線的射影，即可根據(jù)解三角形的有關(guān)知識解決問題．
（2）結(jié)合（1）中的證明思路可得：線面垂直即CN⊥平面ABED，再利用棱錐的體積公式，進(jìn)而求出四棱錐的體積；

解答：解：（1）取CD中點(diǎn)M，連接AM與EM （1分）
∵△ACD是正三角形，
∴AM⊥CD．（2分）
∵DE⊥平面ACD，
∴DE⊥AM．（3分）
又CD∩DE=D，
∴AM⊥平面CDE．（4分）
所以∠AEM就是AE與平面CDE所成角 （5分）
根據(jù)題意可得：在△AME中，AM=

3

，EM=

5

，
∴tan∠AEM=

15

5

．（7分）
所以直線AE與平面CDE所成角的大小為arctan

15

5

(寫成arcsin

6

4

或arccos

10

4

也可)．（8分）
（2）取AD中點(diǎn)N，同理（1）可證CN⊥平面ABED，且CN=

3

．（10分）
由題意可得：VABCDE=VC-ABED=

1

3

SABED•CN=

1

3

•

AB+DE

2

•AD•CN=

1

3

•

3

2

•2•

3

=

3

．（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查線面垂直的判定定理與幾何體體積的求解，以及線面角，而解決空間角的步驟是：找角，證角，求角三步，空間角是高考比考內(nèi)容．